segunda-feira, 6 de junho de 2011

Números Primos - M.D.C e M.M.C.


Um número Natural é um número Primo quando
só tem por divisores ele mesmo e a unidade. 
O estudo sobre os números Primos ganha um
desenvolvimento particular na Grécia.
Eratóstenes (por volta de 276 a.C. a 194 a.C.) e Euclides (século III a.C.?) são os responsáveis por este desenvolvimento. Eratóstenes desenvolveu um método de 'separar' os números Primos, menores de 100, dos números não-primos. Os números não-primos diferentes de 1 receberam o nome de números compostos, uma vez que se compõem do produto de números Primos.          

Crivo de Eratóstenes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
O método consiste em se riscar (daí o nome crivo) primeiro o número 1, que não é
primo, em seguida os múltiplos de 2, depois os múltiplos de 3, depois os de 5 e
assim por diante. Os números que restarem são primos. 
Observe que o número 1 não é Primo nem composto e que o número 2 é o 
único número Primo que é par. Note ainda que o conjunto dos números Primos é
infinito. Os números 7, 19 e 47, como vemos no Crivo de Eratóstenes, são 
números Primos pois só têm como divisores eles mesmos e o 1 (Figura 1, acima). 

RECONHECIMENTO DE UM NÚMERO PRIMO

Para reconhecer se um número é primo, dividimos o número dado, sucessivamente, pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,…, até que o quociente seja menor ou igual ao divisor. Se isso acontecer e a divisão não for exata, dizemos que o número é primo.

Exemplos:
O número 43 é primo?
   ·         43 dividido por 2 é igual a 21 e resta 1
   ·         43 dividido por 3 é igual a 14 e resta 1
   ·         43 dividido por 5 é igual a 8 e resta 3
   ·         43 dividido por 7 é igual a 6 e resta 1
Observe que;
 Nenhuma dessas divisões é exata.
   ·         O quociente 6 é menor que o divisor 7.
   ·         Logo 43 é um número primo.

EXERCÍCIOS

                

1. Determine os divisores dos números abaixo e diga quais são primos (P) e quais são compostos (C):
12 ....................(   )   13 ....................(   )    14 ....................(   )
15 ....................(   )   16 ....................(   )    17 ....................(   )
18 ....................(   )   19 ....................(   )    20 ....................(   )

2. Qual é o menor número primo?........

3. Quantos e quais são os números primos?........

4. Quais são os dez primeiros números primos?........

5. Classifique como verdadeiro ou falso:

(    )  Todos os números primos são ímpares
(    ) Existem números que são primos e compostos.

6. Assinale os números primos abaixo .
31       97       91       45       36       73

7. Responda e justifique:

a) O zero (0) é número primo? ........
b) O um (1) é número primo? ........
c) Existe número par que é primo? ........
d) Existe número natural terminado em 5 que é primo (excluindo 
o próprio 5?........



Álgebra Básica
Fatoração em Números Primos
O estudo de fatoração em números primos é muito importante para diversas partes da
Matemática, mas principalmente para potenciação e fatoração. Por isso colocamos
todos estes tópicos juntos.
O que significa fatorar? O que é um fator?
Quando aprendemos a multiplicar, também aprendemos o que é um fator.
Cada parte de uma multiplicação tem seu nome:  
                                    23 (PRIMEIRO FATOR)
                                  X  3 (SEGUNDO FATOR)
                                     69 (PRODUTO)
Fatorar um número nada mais é do que achar uma multiplicação de números que
resulte o número a ser fatorado. Exemplos:

Uma fatoração para 4 pode ser 2 · 2
9 = 3 · 3
32 = 16 · 2
90 = 15 · 3 · 2
Todos estes são exemplos de fatoração.
Mas o que nos interessa é a fatoração em números primos.
Fatorar em números primos é achar uma multiplicação de números primos que resulta n
número que deseja-se fatorar.

Veja que os dois últimos exemplos, logo acima, não são fatoração em primos,
pois 16 e 15 não são números primos. Então aquela fatoração é somente
fatoração, e não fatoração em números primos.



Para fatorar um número em fatores primos começamos escrevendo o número a fatorar 
com uma barra vertical ao lado:
Veja os exemplos abaixo:

81 | 3
27 | 3
  9 | 3
  3 | 3

1 |
126  | 2
  63  | 3
  21  | 3
    7  | 7
 1  |
147  | 3
  49  | 7
    7  | 7
 1  |
1365  | 3
  455  | 5
    91  | 7
      13  | 13
   1  |


Com isso achamos a fatoração em primos destes números:


Número
Fatoração
em primos
Fatoração em Primos
utilizando Potências
81
3 · 3 · 3 · 3
34
126
2 · 3 · 3 · 7
2 · 32 · 7
147
3 · 7 · 7
3 · 72
1365
3 · 5 · 7 · 13

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C)
DE DOIS OU MAIS NÚMEROS NATURAIS

O MDC entre dois ou mais números é o maior divisor comum a eles. 

Exemplos: 
MDC(12,36)  Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12  Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,
18, 36  Podemos verificar que o maior divisor comum entre 12 e 36 é o próprio 12. 
MDC(12,24,54)  Divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18  Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 
12, 24  Divisores de 54 = 1, 2, 3, 6, 18, 27, 54  O maior divisor comum a 12, 24 e 54
é o 6.

PROCESSO PRÁTICO PARA A OBTENÇÃO DO MÁXIMO DIVISOR COMUM 
MDC(12,36)   
12     36  | 2
  6     18  | 2
  3     9   | 3
  1      3   | 3
  1      1   |                                  
Os números destacados na fatoração estão dividindo os dois números ao
mesmo tempo, então devemos realizar uma multiplicação entre eles para 
descobrirmos o máximo divisor comum. 
2 x 2 x 3 = 12
MDC(12,36) = 12      


MDC(70,90,120)        70     90     120  | 2
                               35     45       60  | 2
                               35     45       30  | 2
                               35     45       15  | 3
                               35     15        5   | 3
                               35      5         5   | 5
                                7       1         1   | 7
                                1       1         1   |
2 x 5 = 10
MDC (70, 90, 120) = 10



MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)
DE DOIS OU MAIS NÚMEROS NATURAIS

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.
Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:

Múltiplos de 6:  0, 6, 12, 18, 24

, 30,...

Múltiplos de 4:  0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...

Múltiplos comuns de 4 e 6:  0, 12, 24,...
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12
de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.
  • CÁLCULO DO M.M.C.
            Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. 
Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:
    1º) decompomos os números em fatores primos
    2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:
                   12   =  2  x  2  x  3
                   30   =  2  x  3   x  5
        m.m.c (12,30)  = 2  x  2  x  3   x  5
        Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
        12 = 22  x  3
        30 = 2   x  3  x  5

       
m.m.c (12,30)  = 22  x  3  x  5


O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.
  • PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
          15,  24,  60 | 2
          15,  12,  15 | 2
          15,   6,   15 | 2
          15,    3,  15 | 3
             5,   1,   5  | 5
             1,   1,   1, | 


Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, 
num dispositivo como mostrado acima. Os produtos dos fatores primos
que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. 
Fazemos então o cálculo: 

M.M.C.(15,24,60) = 2x2x2x3x5 = 120

NOTE QUE MÚLTIPLO DE É O MESMO QUE SER DIVISÍVEL POR


NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Quando o m.d.c. de dois números é igual a 1 (um), dizemos que eles são primos entre si.

Exemplos:

a)    4 e 9 são primos entre si, pois o m.d.c. (4,9) = 1
b)    8 e 15 são primos entre si, pois o m.d.c. (8,15) = 1 



EXERCÍCIOS


01. Decomponha os números em fatores primos:
180          220          320          308          605             616 
1008        1210          2058        3125         4225           5040

02. Qual é o número cuja fatoração é:
a) 2 . 2. 3 . 5 . 7
b) 3 . 3 . 5 . 5 . 7.
c) 2 . 3 . 5 . 7
d) 5 . 5 . 11 . 13

03. Escreva o conjunto dos divisores de 8, 9, 10, 12,15 e 20:
a) D8
b) D9
c) D10
d) D12
e) D12
f) D15
g) D20
  
        04.  Baseado nos resultados do exercício anterior, determine:
 a)    m.d.c.(9,12)
     b)    m.d.c.(8,20)
     c)    m.d.c.(10,15)
     d)    m.d.c.(8,12)
     e)    m.d.c.(9,15)
     f)     m.d.c.(10,20)

05. Calcule:
a)mmc(2,3)
b)mmc(3,5)
c)mmc(2,3,5)
d)mmc(3,4,5)
e)mmc(2,4,5)
f)mmc(3,5,6)
g)mmc(5,8,9)
h)mmc(12,15,18)
i)mmc(12,20,24)
j)mmc(20,40,50)
06. Dois viajantes de uma empresa saem a serviço no mesmo dia. O primeiro faz viagens de 12 em 12 dias e o segundo de 18 em 18 dias. Depois de quantos dias eles saem juntos novamente?

07. Três ônibus partem de uma rodoviária no mesmo dia. O primeiro parte de 8 em 8 dias, o segundo de 12 em 12 dias e o terceiro de 20 em 20 dias. Depois de quantos dias, eles partirão juntos novamente?

08. Calcule:
a)  m.d.c. (4,7)  -
b)  m.d.c. (6,8)  -
c)   m.d.c. (12,5)  -
d)  m.d.c. (6,9)  -
e)  m.d.c. (12,14)  -
f)   m.d.c. (18,25)  -

9. Quais os pares de números do exercício anterior que são primos entre si?

10. Determine:
a) m.d.c. (25,10) -
b) m.d.c. (48,18) -
c) m.d.c. (30,18) -
d) m.d.c. (60,36) -
e) m.d.c. (120,75) -
f)  m.d.c. (336,186) -
g) m.d.c. (77,280) -
h) m.d.c. (450,348) -
i)  m.d.c. (30,15) -
j)  m.d.c. (80,48) -
k) m.d.c. (85,75) -
l)  m.d.c. (69,15) -
m)m.d.c. (3,15,12) -
n) m.d.c. (20,6,14) -
o) m.d.c. (25,10,20) -
p) m.d.c. (30,45,75) -
q) m.d.c. (4,8,9) -
r)  m.d.c. (12,16,18) -
s)  m.d.c. (15,45,75) -
t)  m.d.c. (28,70,56,140) -

11. Uma escola com mais de 500 alunos distribuirá:
·         1800 folhas de papel azul
     ·         1200 folhas de papel verde
     ·         3000 folhas de papel amarelo

Cada aluno deverá receber o mesmo número de folhas de cada cor e não sobrará nenhuma. Pergunta-se:

    a)  Quantos são os alunos?
    b)  Quantas folhas receberá cada aluno?

12. O número 8 e o número 25 são primos? São primos entre si?


Exercícios do site do Profº Flor



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